Existe ou existem?

Vejamos:

O verbo existir é sempre empregado com sujeito: algo Não importa se o sujeito vem no início da frase ou posposto ao verbo, a concordância do verbo com o sujeito é obrigatória.

Fantasmas não existem. Não existem fantasmas. (Em ambas, fantasmas é o sujeito)

Nas frases que contêm pronome relativo é preciso ter um cuidado especial. Para isso, consideremos a frase abaixo:
1.O que existe ou existem são pessoas que lutam pelos seus sonhos?

Por sua construção, na frase acima, o sujeito de existir é o pronome relativo que, que retoma o pronome demonstrativo singular “o” (equivalente a aquilo) com o qual o verbo deve concordar. Portanto, a forma mais adequada é a seguinte:

O que existe são pessoas que lutam pelos seus sonhos.

Frases assim parecem armadilhas, porque é a sua organização que determina a concordância do verbo com “o que” e não com a ideia expressa pelo verbo existir. Essa construção com “o que” enfatiza a ideia de existência.

Essa mesma ênfase seria dada pela construção abaixo:
São pessoas que lutam pelos seus sonhos que existem. (aqui a ênfase é dada a pessoas, representadas pelo “que” por isso existem, no plural.)

Ambas são construções enfáticas organizadas a partir da frase básica: Existem pessoas que lutam pelos seus sonhos.
Além do verbo existir há outros verbos que podem aparecer na construção com O que: faltar, restar, sobrar, etc.

O que falta (e não O que faltam) são boas ideias.
O que resta (e não restam) são esperanças.
O que sobra (e não sobram) são migalhas.